本文继续解决【科研点子】Online Bipartite Matching with Reusable Resources中的两个Open Problem | Home of Mr. 5中遇到的问题，并提出一种可能的LP分析模式。
考虑任意一条边（编号为的右点在时刻到来），我们暂时地在经典的Primal-dual框架下来分析它：
图1 OBMRR问题的经典LP形式
考虑DJK13里的两个引理。
Dominance Lemma：仍然成立。我们用上述模型下的语言重述一遍Dominance Lemma。
引理 1：
若不变，当时，会在这段时间内被匹配。
Monotonicity Lemma：不成立。反例如下：
设，有这六条边。考虑，当把号左点删去后，显然整张图的匹配就是，则。注意，不在匹配中是因为此时号左点还没休息好。然而，当把号左点加回来并假设时，整张图的匹配变成了，号右点不仅没有变得更好，反而失去了匹配。
这个反例的要点在于，点在回归后，不仅在这段时间内产生了匹配，还在上一个区间产生了匹配，导致了其他点在进入时的状态（状态包括休息与否，休息还有多久结束）发生了改变。
事实上，可以证明：
引理 2：
对于任意边，当且不存在匹配，其中时，。
也就是说，如果回归后没有在更早的周期内发生匹配，那仍然是被Monotonicity Lemma保障的。反之，就有出现反例的可能！
还可以证明：
引理 3：
对于任意边，若存在，使得时不存在匹配，其中，则对于任意，都不存在，其中。
表述的有点绕，其实意思就是，如果在等于某个值的时候Monotonicity Lemma是成立的，那么在比这个值更大的时候也还是成立。我们可以取（懂意思就好），在后面的证明里，这个值的作用和的作用同等重要。
结合引理2和引理3，我们有：
引理4：
当时，Dominance Lemma和Monotonicity Lemma都成立；
当时，仅Dominance Lemma必然成立。
换句话说，在经典情形里，对于一条边：
在我们的情形里，则只能做到：
为了解决的问题，我们尝试寻找有利于分析的其他条件。
注意到，尽管的出现可能捣乱，但是反过来讲，本身是一个确定存在的匹配。也就是说，在时，我不仅知道在本周期匹配了一条边（而且这条边不是），我还能确定在之前的某个周期还至少匹配了一条边。这应当是一件好事，问题是怎么利用它。
我们的梦想是，把对应的那个约束条件删掉，替换为
。
简单来讲就是让来帮帮它，毕竟差掉的那一段刚好有。
但帮助显然是有代价的。为了写起来更清晰，我们把正在考察的边记为，时该周期内左点的匹配为，本周期前左点的最早的匹配记为。把上述dual条件转换回Primal，会发现，primal条件
（记为condition a）
变成了
。
注意到，这是对Primal的一个restriction！而且可以举出例子证明，该restriction是严格的。哪怕有上面的一堆组合性质也还是严格的restriction。那就完蛋了，不能用。
解决办法是，把也同时带上，让condition a变成：
注意到，该条件可以由下述两个原先的条件推出：
因此是一个relaxation。
这一替换会改变dual中关于两条边的condition，具体来说变成了：
前者正是我们需要的（后者作为赠品也ok）。
假设LP的具体形式由一个算法产生，记为。
要做的，就是对于给定的图，构造出对应的适合分析的LP形式。构造方法就是，先采用图1中的经典LP形式，然后把所有可能的都取一遍，检查每条边在under 时产生了哪些condition替换需求，整合起来全部满足即可。
注意到，每一个condition替换请求都只会造成dual中的condition越来越好满足（即前面加上越来越多的）。而对于primal则是relaxation。PrimalDual两侧都没有问题。
这事实上意味着，对于primal的那些relaxation一定是非strict的（否则会造成更大的optimal，从而dual的condition应该越来越难满足才对）。对这一事实的直觉来源于先前得到的组合性质。
以上想法的正确性有待评判。
从发现的问题开始日思夜想，前后想了十几种挽救的办法，全都报废了：(
希望这个是对的，或者至少有点启发意义吧啊啊啊