引理一：
图灵机是可枚举的。因此，每个图灵机都可以映射到一个有限长的“”编码。
引理二 (Hennie, Stearns 1966)：
存在快速通用图灵机，其接收输入，并将对应的图灵机的在输入上的运行过程模拟出来，且时间开销不超过，其中为在上的运行时间。
定理一 (Hartmanis, Stearns 1965)：
如果是满足的时间可构造函数，则
证明：
我们仅举该定理的一个特殊情形来证明，但是对于理解该定理已经足够。我们证明.
考虑这样一台图灵机，它接收输入，然后用快速通用图灵机模拟在上的运行（也即让引理二中的输入为）。在模拟了的时间后，将强制停止。此时，如果已经产生了输出，则输出；如果没有产生输出，则输出。
根据定义， 永远会在的时间内停机。设识别的语言为，则显然是的。现在，我们断言。
假设断言不成立，即存在图灵机，其在的时间内停机，且识别语言。这也就是在说，对于任意输入，。
我们假设的编码为。考虑。其意味着模拟在输入上运行。而我们知道，会在的时间内停机。我们设，根据引理二，该模拟过程也会在的时间内完成，因此能够在的时间内产生输出。所以根据的定义，。然而，我们刚才在定义时说明了。矛盾。
因此，不存在。则，定理一的特殊情形得证。同时我们也给出了一个具体的语言，作为时间分层的例证。
推广到一般性的定理一的方法是显然的。可以看出，定理一中的正是来自于通用图灵机的模拟速度，即引理二。
定理二 (Cook 1972)：
如果是满足的时间可构造函数，则
证明同样使用了对角化思想，但是没有确定型时那么简单。因为如何“翻转”非确定型图灵机的输出是一件比较tricky的事，就像给人的困惑一样。最后通过一种叫做“惰性对角线方法”的手段可以证明该定理。