【科研点子】The Harsh Revenue Gap of Posted Price is e-bounded for a Large Group of Functions

发表于 更新于 分类于

在研究的时候鼓捣出来一些好玩的东西。

这篇blog里，我们把最大的期望与机制的期望收益之比称为Harsh Revenue Gap，下面简称为。

我们知道，哪怕是最简单的单物品、单顾客的情形，Optimal Auction也不能够保证高于某常数的，一个例子我们已经在上个blog中给出。

为了便于研究，我们把分布收缩到上的均匀分布，而顾客的估值函数，其中且在上增。

此时，糟糕情况依然存在，如，数学期望为，而任何标价的收益期望都小于。

而如果想要一个有限的例子，只需把在 靠近的地方截断再放缩即可，可以构造出任意有限差的例子。

一般的，对于单物品单顾客，我们有

直觉上看，似乎一个函数如果表现得十分“激进”，甚至激进到可以让积分窜到无穷大，那么就会造成这种“无论怎么定价都追不上”的情况。

值得注意的是，仅仅卡死没有任何作用，因为对任何一个进行纵轴上的缩放都不会对结果有任何影响。（分子分母都缩放了，所以没有用）因此任何一个看起来很“大”的差实例，都可以被等价收缩到一个小区间上。

因此，我们必须从函数本身的某些分析学性质入手。

下面先看一族例子：

设有个顾客，他们的，则可以算出

则

，其中。

注意到

以及

同样的，所有指数函数也是如此，比如，它们的的也至多为。

等也没有什么问题。

然而，等函数则不可以，这又是为什么呢？

根本的问题是：

函数的什么因素决定了（或大致决定了）它的？

我们把上面的一些函数在处泰勒展开一下：

大胆猜测，分母和次数之间的函数关系很重要（当然其实在展开式中我们也只能关注这个），很有可能分母的增速要大于线性，即在处收敛。

更大胆的猜测，只要满足上述处收敛条件，一定收敛到。