【理论学习】Weierstrass 一致逼近定理

发表于 2023-11-07 更新于 2023-12-27 分类于理论学习

这其实是我开学的时候旁听了一节逼近计算的课的笔记（的拓展）。

（唉，早八，唉，东九楼，要不是因为这两个原因我后面还会继续去旁听）

逼近的对象和目的

逼近计算主要研究两类函数的逼近：

闭区间上的连续函数
实轴上以为周期的连续函数

把一个复杂的函数用简单的函数（如多项式函数）近似后，我们可以转而研究这个简单的函数，也不会失去原函数的太多性质。这就是逼近的目的。

Weierstrass第一定理

把上的连续函数映射成了上的多项式函数。

也称为Bernstein算子（自变量是）。

当然，别的区间只需要平移一下就好了。

一般的，对于，使得

这就是Weierstrass第一定理。

而在上，即为

常用性质：

的次数;
;（线性性）
, 其中。（其实也就是常数仍然映射为那个常数）
（不等式性）
（这个式子比较重要，因为它是第一个需要随着增大“趋近”的式子）

我们接下来在区间上证明Weierstrass第一定理：

由Cantor定理，因为在上连续，所以在上一致连续，那么对于任意，存在，使得对于任意且，都有。

又由于闭区间上连续函数有界，那么有整数对任意成立。

当时，我们还有

所以对于区间上的任意，有

（当时，不等号由的部分保证；当时，不等号由的部分保证）

将固定，在上式三部分分别求Bernstein多项式，根据性质5中的第三条和性质4，可以得到

取，上式变为

又由于在上，有

则只要就有

证毕。

伯恩斯坦多项式的动机

我们可以看到伯恩斯坦多项式里有一部分是，很容易联想到排列组合和概率论。

事实上也的确如此，它就是伯努利试验中事件恰好发生次的概率。

但注意！此处，和是定值，基本事件的发生概率反倒是变量（而不是像我们排列组合题目里通常的是变化的）。那么可以预见，随着在上变化，这是一个先增后减的函数，且函数在时达到尖峰，且在尖峰两侧快速衰减。不管是什么，函数对在上的积分并虽然不是，但也是，一个与无关的数。

因此，我们可以认为，对于任意一个和其对应的，我们对其在上采样（此时可以认为自变量又变成了）。显然，只有在取到比较接近时，才会产生比较大的值。当取得越来越大，采样也就越来越精细，我们也就越来越逼近原函数。

贝塞尔曲线

在计算机图形学早期，曲线通常被表现为参数形式。例如，二次曲线，可以表示为关于的参数方程：

或者更简洁的，以向量形式：

那么如果是三维曲线，显然就具有如下形式：

，

其中为三维向量。

这被称为Ferguson曲线。

但是这种表示形式并不直观，而且对于一个想要近似的曲线，很难求解。

于是我们引入一种直观的、具有交互性的曲线生成方式：贝塞尔曲线。

它通过多个向量首尾相接从而形成多边形来近似曲线。

其公式为：

其中为向量，为一个基函数，其内容如下：

可以看到这个基函数实际上是一个次的多项式。

利用上述公式，给我一个多边形，我就可以算出一个曲线。但这个表达式仍然有些复杂，我们在此不做分析。

1972年，Forrest指出贝塞尔曲线可以借助伯恩斯坦多项式被定义在点集上。

原先的贝塞尔曲线是定义在首尾相连的向量上的。现在，我们把这些向量变成多个控制点。

beisaier

给定控制点，贝塞尔曲线上的任意一点可定义为：

其中

这也就是我们现代常用的贝塞尔曲线公式。

直观上，这个公式其实就是利用伯恩斯坦多项式来反向逼近多边形，而这个逼近本身是平滑的次曲线。

而在工业应用时，我们的思路当然是反过来的，应当是先去设置、调整这几个控制点去近似你脑海中的曲线，然后让伯恩斯坦多项式来生成出这个曲线。（因为“近似关系”是对称的）

Weierstrass第二定理

可以合理地猜想，逼近连续函数的方法不是唯一的。

除了上述的多项式逼近，我们还可以用三角多项式逼近闭区间上的连续函数。

这就是Weierstrass第二定理。

（其实这个定理逼近的是“闭区间上以为周期的连续函数”，但其实意思就是上的连续函数，你拼拼凑凑缩缩放放也就可以逼近一般的闭区间连续函数）

注意到，由于三角不等式，可以知道一致逼近是具有传递性的，所以我们只需要证明所有多项式函数都可以用三角多项式逼近即可。（只是提一下，下面的证明并没有利用这一点，但这是一个好用的简化技术）

Casero和

其实我们早就知道一些近似手段，最有名的就是傅里叶级数。

根据Dini判别法，当在处连续且具有一阶导数时，其在该点处的傅里叶级数收敛于。

然而如果我们只保留“连续”的条件，上述收敛就并不一定成立了。

我们退而求其次，适当放宽“收敛”的定义。

设是一个无穷级数，是它的部分和，如果的算术平均收敛，即，则称级数在Casero意义下收敛，称为Casero和。

比方说，著名的Grandi级数就是Casero收敛的，它收敛到。

Casero本人把普通的收敛定义中的求和记为，把刚才介绍的Casero求和记为。他把这类一般的求和推广到了所有非负整数及积分运算上：

积分是可积的，当且仅当

存在且有限。

Fejer级数

在定义好了更放松的Casero收敛后，我们回头重新看一看傅里叶级数。

考虑一个在上可积，且以为周期的函数，其傅里叶级数的前项和为，其中，，带入，化简得：

，

其中称为Dirichlet核，记为。

即。

则Cesaro和定义为，称为的Fejer级数，

即，

其中称为Fejer核，记为，

即

Fejer核具有以下性质：

，

故Fejer核在上一致收敛到。

现在，设是上以为周期的连续函数，其Fejer级数定义为和Fjejer核的卷积，即。

然后我们可以做差来研究敛散情况。

利用Fejer核的三条性质，经过一通计算（去看“参考”部分的原文吧），我们发现了奇妙的事情：

$一致$

我们一开始放宽了收敛的定义，得到的级数反倒是能够一致收敛，还是很有趣的。

这样一来，我们也就证明了Weierstrass第二定理。

参考：

https://zhuanlan.zhihu.com/p/366678047

https://zhuanlan.zhihu.com/p/366082920

https://zhuanlan.zhihu.com/p/563356834

https://zhuanlan.zhihu.com/p/338954836

Animated Bézier Curves - Jason Davies

以及刘海霞老师的课