【理论学习】抽象代数

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群

群：

1. （结合律）

2. （单位元）

3. （逆元）

如果再加上

1. （交换律）

那就是。

定理：

若是群，则

1. 是唯一的；

2. ，唯一。

证明：

1. 假设都是单位元，则。

2. 假设，则

   。

其他不证了。

子群：

若是群，则

记作

另外，子群也有下面这个辨认方法：

1. （封闭）

群同态：

若是两个群，

记为

定理：

核与像：

若，

则（核）

（像）

定理：

若，则

满同态、单同态、双同态

（为满射的同态）

（为单射的同态）

（为双射的同态，等价于同构）

定理：

若，则

证明：

：因为前面有定理保证；

：假设，则，则

，则。

群同构：

也即等价于双同态

群同构从映射的角度记作

，或从两个群的角度记作

用这个符号是因为群同构是一个等价关系！

定理：

若

则

也就是同构这一等价关系中的自反性。

事实上，许多地方对群同构的定义要加上第三条，。

不过由于上述定理，这里可以省去。但在拓扑和测度论里的一些“群同构”里，第三条是不能省的。

例子：

（实数上的加法和正数上的乘法是同构的）

（所有平凡群（只有一个元素）是同构的）

（复数旋转与矩阵旋转的同构）

循环子群：

对于群和，

称为

的由生成的循环子群。

一般也就简单记为。

循环子群是阿贝尔群，而且是的包含元素的最小阿贝尔子群。

定理：

循环群：

对于，如果有使得

，

称为循环群。

例子：

之前提到的就是循环群，可表示为。

阶：

群的阶为（即集合的基数）

元素的阶为

定理：

若，

则.

定理：

若

且，

则（所有同阶的循环群都是同构的！）

定理：

若（注意这里没有要求是循环群）

则

陪集：

若，

则，

分别称为左陪集和右陪集。(其实不一定要是群，一般集合都可以)

（注意，陪集不一定是群，一般来讲，的时候不是群）

（如果没有搞错的话，陪集都是子群的充要条件是是正规子群，后面会讲）

定理：

2. 若，则

定理：

若为群，，则

拉格朗日定理：

定理：

若，是有限群，

则（这里是整除的意思）。

这意味着什么呢？意味着我们可以根据知道的子群可能有哪些大小。

比如时，只有可能取，不可能有其他大小。

这里讲得挺直观的。

正规子群：

（即左陪集等于右陪集）

定理：

对于任意群和正整数，。

（群（集合）与自身相乘仍然是自身）（群（集合）自身的乘法自己脑补）

定理：

若，

则

定理：

定理：

，

正规化子：

若，

则

称为在中的正规化子。

定理：

商群：

若，

则

即在上的商群。（这里的是集合间的乘法）

定理：

若为阿贝尔群，

则。

例子：

是群

是4个陪集

（写在右侧也可以，因为是是正规子群）

这4个陪集与共同组成

就是在上的商群。

可以注意到，这个商群的本质就是模5的加法群。

因此，商群通常称为。

定理：

若

则

第一同构定理：

引理：

若，

则存在唯一的群同态导致下图为一个交换图表

即，

其中，称为典范满射。

定理：

若

则

变换群（置换群）

对于集合 ，双射称为上的置换。

完全变换群。

变换群即的子群。

Cayley定理

定理：

群同构于的一个子群。

（编写中）