【理论学习】抽象代数
视频:https://www.bilibili.com/video/BV1C7411Z7xh/
文章:https://zhuanlan.zhihu.com/p/294221308
群
群:
(结合律) (单位元) (逆元)
如果再加上
(交换律)
那就是
定理:
若
是唯一的; , 唯一。
证明:
假设
都是单位元,则 。 假设
,则 。
其他不证了。
子群:
若
记作
另外,子群也有下面这个辨认方法:
(封闭)
群同态:
若
记为
定理:
核与像:
若
则
定理:
若
满同态、单同态、双同态
定理:
若
证明:
群同构:
也即等价于双同态
群同构从映射的角度记作
用这个符号是因为群同构是一个等价关系!
定理:
若
则
也就是同构这一等价关系中的自反性。
事实上,许多地方对群同构的定义要加上第三条,
不过由于上述定理,这里可以省去。但在拓扑和测度论里的一些“群同构”里,第三条是不能省的。
例子:
循环子群:
对于群
一般也就简单记为
循环子群是阿贝尔群,而且是
定理:
循环群:
对于
称
例子:
之前提到的
阶:
群
元素
定理:
若
则
定理:
若
且
则
定理:
若
则
陪集:
若
则
分别称为左陪集和右陪集。(其实
(注意,陪集不一定是群,一般来讲,
(如果没有搞错的话,陪集都是子群的充要条件是
定理:
若
,则
定理:
若
拉格朗日定理:
定理:
若
则
这意味着什么呢?意味着我们可以根据
比如
这里讲得挺直观的。
正规子群:
定理:
对于任意群
(群(集合)与自身相乘仍然是自身)(群(集合)自身的乘法自己脑补)
定理:
若
则
定理:
定理:
正规化子:
若
则
称为
定理:
商群:
若
则
定理:
若
则
例子:
(
这4个陪集与
可以注意到,这个商群的本质就是模5的加法群。
因此,商群
定理:
若
则
第一同构定理:
引理:
若
则存在唯一的群同态
即
其中
定理:
若
则
变换群(置换群)
对于集合
完全变换群
变换群即
Cayley定理
定理:
群
(编写中)